说明：这份图谱按题型和方法整理，不对应某一套教材的完整目录。不同版本与修订版的年级、册次安排可能不同，请以孩子正在使用的教材为准。
| 题型 | 画什么图 | 一句话方法 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 小数乘小数 ★ | 百格图面积模型（10×10 大方格，横涂 0.3、竖涂 0.2，重叠 6 小格） | 0.3×0.2 就是"长 0.3 宽 0.2 的长方形面积"，重叠格子数 = 积的小数位数 | 小数点位置：看两个因数一共有几位小数 |
| 小数除法 ★ | 分物图 + 单位换算图（元→角→分不断细分） | 除数是小数先"变大成整数"，被除数跟着一起变（商不变） | 只把除数变整数、被除数忘了变 |
| 位置与数对 ★ | 方格纸描点再连线 | 先列后行（x, y），描完点连起来看形状 | 行列写反；平移后数对加减搞错方向 |
| 多边形面积 ★★★ | 割补法 / 等积变形 / 添辅助线 | 平行四边形沿高剪开拼长方；三角形×2 拼平行四边；梯形×2 拼平行四边 | 三角形梯形忘记 ÷2；高找错（必须是垂直距离） |
| 组合图形面积 ★★★ | 分割法（切成几块加）／添补法（补成大块减） | 先找"能算出面积的分割线"，标出每块需要的底和高 | 分割后找不到高；添补时减错了那块 |
| 等底等高三角形 ★★ | 同一组平行线之间画多个三角形 | "同底等高面积就相等"，不用算底和高 | 只看高没看底；梯形里两条对角线分成四个三角形的关系 |
| 植树问题 ★★★ | 线段图 + 点子（先画 3 棵树找规律，再推广） | 两端都栽：棵数=间隔数+1；只栽一端：相等；两端不栽：−1；封闭：相等 | 不画图直接套公式，一遇到"锯木头/爬楼梯"就懵 |
| 相遇 / 追及 ★★★ | 线段图（两端画人，标速度、时间、路程） | 相遇：两人路程和 = 全长；追及：路程差 = 速度差×时间 | 相遇时"两人走的时间相同"这一点没画出来 |
| 和差 / 和倍 / 差倍 ★★ | 线段图（画 1 份，再画几份） | 先找到"1 份"画在最上面，其余按倍数往下画，对齐了看总数 | 把"多 3 个"画成"多 3 倍" |
| 年龄问题 ★★ | 线段图 + 标"年龄差不变" | 不管过几年，两人的差永远一样，画两条线段保持差值 | 倍数变了但差不变，孩子容易跟着变 |
| 分数意义（单位"1"） ★★★ | 一条线段当单位"1"，平均分几份涂几份 | 先问"谁是谁的几分之几"——"的"字前面那个就是单位 1 | 单位"1"找错（两根绳子长度不同，分数不能直接比） |
| 分数加减法 ★★ | 涂色图 / 数轴（通分=把每份再细分） | 分母不同就是"每份大小不同"，通分让每份一样大才能加减 | 分母加分母、分子加分子 |
| 分数乘法（按教材进度） ★★★ | 长方形两次分割（先竖切取 1/3，再横切取 2/5，重叠部分） | "的"字表示求一个数的几分之几；1/3 的 2/5 可以用重叠部分表示，计算时按分数乘法法则 | 不理解为什么乘积可能变小；带分数计算时先化成假分数 |
| 分数除法（按教材进度） ★★ | 包含除示意图（一个总数里有几个这样的分数） | 在除数不为 0 时，除以一个数等于乘这个数的倒数；可用"2 ÷ 1/2 = 2 里面有几个半块"来理解 | 倒数找错；被除数、除数颠倒 |
| 简易方程 ★★ | 天平图（左边放 x 和砝码，右边放砝码） | 等式性质：两边同加同减同乘同除（0 除外），天平还平衡 | 移项不变号；"解"字和"设"句不写 |
| 长方体正方体 ★★ | 展开图（6 个面配对）+ 立方块堆积图 | 展开图找"相对的面"（中间隔一个）；体积=数一层有几块×几层 | 表面积漏面；棱长总和公式记混 |
| 因数与倍数 ★★ | 铺砖图（用正方形砖铺长方形）/ 韦恩图 | 公因数=能铺满的砖边长；公倍数=能拼成的相同边长 | 最大公因数与最小公倍数画混 |
| 方阵问题 ★★★ | 点阵图（画 5×5 数一数，再推广到 n×n） | 最外层 = 4n−4（四条边各 n 个，四个角重复算了一次）；总数 = n×n | 不画图直接套 4n−4，遇到"空心方阵""加一层"就全错 |
| 容斥（重叠） ★★ | 韦恩图（两个圈的重叠部分标两次算的那个） | 总数 = A + B − 重叠；重叠的部分被算了两次，要减掉一次 | 忘记减重叠；三个圈时中间那块减多了 |
| 折线统计图 ★ | 描点连线 | 看"坡度陡不陡"判断快慢，不是看高低 | 把折线图当条形图读；横轴间隔不等时误判 |
| 找次品 ★★ | 天平三分图 | 尽量分成 3 份且尽量平均分，一次排除 2/3 | 分成 2 份；不会用表格记录次数 |
| 可能性 ★ | 树状图 / 列表 | 有序枚举再数个数；"公平"就是两边可能性相等 | 漏情况；把"可能"和"一定"混 |
| 打电话（倍增） ★★ | 树状图（每轮通知新同学） | 如果每位已知者每轮都通知 1 位新同学，每轮新增人数会翻倍；总人数还要加上最初知道消息的人 | 把总人数当成新增人数；题目若限制每人只能通知一次，增长规则会不同 |
| 题型 | 画什么图 | 一句话方法 | 为五年级打什么底 |
|---|---|---|---|
| 三位数×两位数 | 矩阵分解图 / 面积模型（把 145×12 拆成 4 个小长方形） | 乘法就是"算大长方形的面积"，拆开算再加 | → 小数乘法的面积模型 |
| 乘法分配律 ★★★ | 同一个长方形两种切法（a×(b+c) 与 a×b+a×c） | "一个长方形，横着算一次、分开算一次，面积一样" | → 小数、分数乘法的算理 |
| 除数是两位数的除法 | 分物图 / 包含除（每 12 个圈一圈） | 先估商在哪两个整十之间，再调商 | → 小数除法 |
| 小数的意义 ★★ | 百格图（1 个大正方形 = 1，100 格 = 0.01） | 0.1 是一整条，0.01 是一小格 | → 小数乘除、分数小数互化 |
| 小数点移动 | 数位顺序表（数字搬家、数位不动） | 向右移变大、向左移变小，位数不够补 0 | → 小数除法竖式 |
| 角的度量 | 量角器示意图 / 角的分类图 | 中心对顶点、0 线对一边，看另一边指哪圈 | → 三角形内角和、多边形 |
| 平行四边形与梯形 ★★ | 画高（虚线 + 直角符号） | 高是从一条边到对边的垂直线段，不是斜边 | → 五上多边形面积 |
| 三角形三边关系 / 内角和 | 拼图（三个角剪下来拼成平角） | 两边之和大于第三边；内角和 180° | → 面积公式推导 |
| 图形的运动（平移旋转） | 方格纸描关键点，点动图动 | 只找几个关键点，分别平移/旋转后再连线 | → 五下旋转 |
| 平均数（移多补少） ★★ | 条形图把高的部分"剪"给矮的 | 平均数不是"真的有这个数"，是"削平以后" | → 折线统计图 |
| 鸡兔同笼 ★★ | 假设法方块图（先全画成鸡，多出来的腿每只补 2） | "假设全是鸡 → 少了多少腿 → 每换一只多 2 条" | → 五上/五下假设类应用题 |
| 倒推（还原） ★★★ | 箭头流程图：从结果往回画，加↔减、乘↔除全部反过来 | 先写"最后剩多少"，再一步步倒着推回"原来有多少" | → 五六年级逆推类应用题、方程思想 |
| 优化（烙饼、沏茶） | 流程图 / 时间轴并行图 | 能同时做的事画在同一行 | → 统筹思维 |
| 题型 | 画什么图 | 一句话方法 | 为高年级打什么底 |
|---|---|---|---|
| 倍的认识 ★★★ | 线段图（先画 1 份短的，再画几个这么长） | "谁是谁的几倍"——"是"字后面那个当 1 份 | → 五年级所有倍数/分数题 |
| 多位数乘一位数 | 点子图 / 小棒图（23×3 拆成 20×3 + 3×3） | 拆开算再合起来，就是乘法分配律的雏形 | → 两位数乘两位数 |
| 除数是一位数的除法 | 分小棒图（先分整捆，剩下的拆开再分） | 从高位开始，不够就和下一位合起来 | → 除数是两位数 |
| 长方形正方形周长 | 图形标边长 + "移边法"（凹图形的外边往外推） | 把不规则的边往外推，常常正好补成长方形 | → 组合图形周长、面积 |
| 面积 ★★★ | 铺方块（1cm² 的小正方形铺满） | 面积就是"能铺多少个小方块"，长×宽 = 每行几个 × 几行 | → 面积公式推导、组合图形 |
| 周长 vs 面积 ★★ | 同一个长方形画两根线：一圈边线 vs 涂满里面 | 周长是"绕一圈的绳子"，面积是"铺满的地板" | → 单位混淆是五六年级重灾区 |
| 分数初步认识 ★★ | 披萨圆 / 长方形折纸（平均分几份涂几份） | 必须"平均分"才叫分数；分子=取了几份，分母=分成几份 | → 五下分数的意义 |
| 同分母分数加减 | 涂色图（一份一份地合并/拿走） | 分母不变 = 每份大小不变，只数份数 | → 异分母通分 |
| 集合（重叠问题） ★★ | 韦恩图（两个圈重叠部分标"两项都参加"） | 总数 = A + B − 重叠部分 | → 公因数公倍数、容斥 |
| 搭配（排列组合启蒙） | 连线图 / 树状图（先固定上衣，再配下装） | 固定一个、轮流配另一个，做到有序不重不漏 | → 可能性、打电话 |
| 时分秒 / 经过时间 | 时间轴（起点画到终点，分段跳） | 先跳到整点，再跳剩下的分钟 | → 行程问题的时间处理 |
| 小数初步认识 | 米尺图（1 米分成 10 分米、100 厘米）／价格标签 | 0.1 米 = 1 分米，小数就是"十分之几" | → 小数的意义与性质 |
| 题型 | 画什么图 | 一句话方法 | 为高年级打什么底 |
|---|---|---|---|
| 100 以内进位加/退位减 | 小棒图（10 根捆一捆）+ 计数器 | 满 10 根捆一捆；不够减就拆开一捆 | → 位值观念、多位数加减 |
| 表内乘法 ★★★ | 点子图 / 矩阵（3×4 画 3 行 4 列） | 乘法就是"几个几"，横着看竖着看都对（交换律） | → 面积模型、乘法分配律 |
| 平均分（两种） | 圈一圈（每份几个→圈几个一份；分成几份→画几个盘） | "每份几个"和"分成几份"是两种除法，图不一样 | → 分数、除法的意义 |
| 有余数的除法 ★★ | 圈一圈剩下几个，画出来 | 余数一定要比除数小（不然还能再分一份） | → 周期问题、抽屉思想 |
| 倍数关系的雏形 ★★ | 方块条（画 1 份、再画同样长的一份） | 用"同样长"的方块条比多少 | → 三年级线段图 |
| 长度单位 | 直尺图 / 身体尺（一拃、一步） | 先估再量，建立 1cm、1m 的手感 | → 面积单位、体积单位 |
| 角的初步认识 | 画角（顶点 + 两条边） | 角的大小看"张开多少"，和边画多长无关 | → 角的度量 |
| 观察物体 | 三视图（从前面、上面、左面看到的形状） | 换位置就换图，画之前先"蹲下去看" | → 长方体展开图、三视图 |
| 图形的运动（平移/旋转/对称） | 方格纸 + 对折（剪对称图形） | 对折后两边完全重合就是轴对称 | → 五年级旋转 |
| 数据收集整理 | 正字统计表 + 条形图（一格代表几） | 一个"正"字 5 个，一格可以代表 2 或 5 | → 折线统计图 |
| 简单推理 | 表格法（人名 × 科目，打勾打叉） | 先确定能确定的，剩下的用排除法 | → 有序枚举、逻辑推理 |
| 题型 | 画什么图 | 一句话方法 | 为高年级打什么底 |
|---|---|---|---|
| 10 以内加减 ★★★ | 画○图（○○○ + ○○ = ？） | 加法是"合起来"，减法是"拿走 / 剩下" | → 所有运算的意义 |
| 凑十法 ★★★ | 十格阵（9+5：先把上面 1 格补满成 10，剩 4） | 看大数、分小数、凑成十、加剩数 | → 位值、进位加 |
| 破十法（退位减） | 十格阵（13−8：先从 10 里减 8，剩 2 加 3） | 拆 10 减，剩下加上个位 | → 退位减、位值 |
| 比多少 | 一一对应连线（谁多出来几个） | 连完线，多出来的那几个就是"相差数" | → 差倍问题、线段图 |
| 排队问题 ★★★ | 画小人（○○●○○，标"第几""前面几个"） | 一定要画！"从前往后数第 5，从后往前数第 3"画出来就有答案 | → 植树问题、间隔问题 |
| 之间有几人 | 画出来数（不含两端） | "之间"不算两头，"从…到…"算两头 | → 植树问题两端不栽 |
| 解决问题（大括号图） | 大括号 + 问号（合起来用加法，部分用减法） | 问号在大括号下面→求总数；问号在部分上→求部分 | → 应用题的结构意识 |
| 认识立体图形 | 堆积图（正方体能不能稳、球会不会滚） | 摸一摸、滚一滚、搭一搭 | → 长方体正方体 |
| 分类与整理 | 分类圈 / 分堆图 | 先定标准再分，标准不同结果不同 | → 韦恩图、集合思想 |
| 找规律 | 图形排列图（圈出"重复的一组"） | 先圈出重复单元，再往后推 | → 周期问题 |
| 人民币换算 | 换钱图（1 元 = 10 角，画成 10 个 1 角） | 先换成同样单位再算 | → 小数、单位换算 |
和差 → 和倍 → 差倍 → 年龄 → 单位"1"分数 → 行程相遇 → 行程追及。每天 3 题，只画图不急着算。
小数乘法百格图 → 多边形割补 → 组合图形分割/添补 → 等底等高 → 分数乘法两次分割 → 分数除法包含图。
乘法分配律面积模型 → 小数意义百格图 → 平行四边形高的画法 → 移多补少求平均 → 鸡兔同笼假设法。
倍的线段图（最重要）→ 面积铺方块 → 韦恩图重叠 → 搭配连线图。
排队问题、凑十破十的十格阵、"之间有几人"——这三样没过关才回补，其余跳过。
配套动画页目前有 46 个主题、138 道例题，覆盖数与运算、倍数和差、年龄、植树、相遇、分数、鸡兔同笼、图形面积与运动、概率等内容。下面新增的扩展图谱用于查漏；其中拓展题不等于每个孩子都要按同一顺序学。
| 已有动画主题 | 覆盖内容 | 扩展图谱中的关系 |
|---|---|---|
| 数量与线段图 | 凑十、比多少、倍数求和/求差、和倍逆推、分数单位“1”、年龄问题 | 继续补平均数、和差、差倍、比和比例 |
| 行程与间隔 | 相遇问题、植树问题、排队与队列 | 继续补追及、环形、火车过桥、流水行船 |
| 逆推与推理 | 倒推还原、鸡兔同笼、替换、等量代换、搭配枚举 | 继续补盈亏、错中求解、牛吃草、打电话 |
| 图形与统计 | 三视图、面积铺方块、组合图形、平移旋转、可能性与公平 | 继续补图形计数、表面积体积、最短路线、找次品 |
| 题型 | 抓住的关系 | 小例子 / 检查点 |
|---|---|---|
| 平均数 常见 | 总量 ÷ 份数 = 平均数；平均数 × 份数 = 总量。 | 5 次测验总分 410 分，平均分 = 410 ÷ 5 = 82 分。要先确认每份都按同一口径统计。 |
| 归一、归总 常见 | 先求每份是多少，再按份数求总量；或先求总量，再按每份量求份数。 | 3 本练习本 12 元，5 本 = (12 ÷ 3) × 5 = 20 元。单价不变时才能这样推。 |
| 和差 常见 | 较大数 = (和 + 差) ÷ 2；较小数 = (和 − 差) ÷ 2。 | 两数和 50、相差 14：较大数 32，较小数 18；验算 32 + 18 = 50。 |
| 差倍 常见 | 差 ÷ (倍数 − 1) = 小数；再乘倍数求大数。 | 大数是小数的 3 倍，两数相差 24：小数 12，大数 36。动画已有“倍数求差”，可用它过渡。 |
| 比与比例 常见 | 按份分配时，先求一份量再求各部分；只有题目说明对应量成比例变化时，才能按比例推算。 | 红、蓝数量比 2:3，共 25 个：每份 5 个，红 10 个、蓝 15 个。验算 10 + 15 = 25。 |
| 百分数与经济 常见 | 部分量 = 单位“1” × 百分率；折后价 = 原价 × 折扣率；按进价加价时售价 = 进价 × (1 + 加价率)。 | 80 元商品打七五折，实付 80 × 75% = 60 元；50 元进价按进价加价 20%，售价为 60 元。折扣率与加价率的基准量要读清。 |
| 积、商的变化规律 拓展 | 一个因数变化、另一个因数不变，积按相同倍数变化；除数和被除数同时乘同一个非零数，商不变。 | 24 × 15 = 360，所以 24 × 30 = 720（第二个因数扩大 2 倍，积也扩大 2 倍）。适合练习估算和验算。 |
| 题型 | 抓住的关系 | 小例子 / 检查点 |
|---|---|---|
| 工程合作 常见 | 把总工作量看成 1；合作效率 = 各自效率相加；时间 = 总工作量 ÷ 合作效率。 | 爸爸独自洗完要 10 分钟，妈妈要 15 分钟：每分钟完成 1/10 + 1/15 = 1/6，合作要 6 分钟。前提是两人做的是同一批工作、效率稳定。 |
| 追及 常见 | 同向追赶时，路程差 ÷ 速度差 = 追上时间。 | 快者每分 80 米，慢者每分 60 米，快者落后 100 米：100 ÷ (80 − 60) = 5 分钟。 |
| 环形跑道 拓展 | 同向相遇看速度差；反向相遇看速度和。跑一圈的长度就是相遇或追及的相对路程。 | 400 米跑道，同一点同向出发，速度 5 米/秒和 3 米/秒：追一圈需 400 ÷ (5 − 3) = 200 秒。 |
| 火车过桥 拓展 | 完整通过桥时，火车头走过的路程 = 火车长 + 桥长。 | 车长 200 米、桥长 300 米、速度 25 米/秒：通过时间 = (200 + 300) ÷ 25 = 20 秒。 |
| 流水行船 拓展 | 顺水速度 = 静水速度 + 水速；逆水速度 = 静水速度 − 水速。 | 静水速度 12 千米/时，水速 2 千米/时：顺水 14 千米/时，逆水 10 千米/时。单位和方向要分别标注。 |
| 周期 / 日历 常见 | 先找重复周期，再用总次数除以周期；余数对应周期中的位置。 | 红、黄、蓝依次循环，第 25 个：25 ÷ 3 = 8 余 1，所以是 红色。若题目从第 0 项开始编号，余数位置要相应调整。 |
| 题型 | 抓住的关系 | 小例子 / 检查点 |
|---|---|---|
| 盈亏 拓展 | 把两种分配方案的“多出/不足”放到同一个等量关系中比较。 | 牛奶正常喝 5 天；每天少喝 2 瓶可喝 7 天。5 天里少喝 5 × 2 = 10 瓶，这 10 瓶正好供延长的 2 天，所以少喝后每天 10 ÷ 2 = 5 瓶；总量 5 × 7 = 35 瓶。 |
| 绕柱 / 圈数与绳长 拓展 | 圈数差对应的绳长差，先求一圈长度，再求总长。 | 绕 4 圈还剩 5 米，绕 6 圈还差 7 米：两圈共 5 + 7 = 12 米，一圈 6 米；绳长 = 4 × 6 + 5 = 29 米。 |
| 错中求解：运算写错 拓展 | 把正确结果与错误结果同时写出来，再用题目给出的差列关系。 | 一个数乘 3 错写成除以 3，结果少 56：3x − x/3 = 56，解得 x = 21。检验：63 − 7 = 56。 |
| 错中求解：小数看错 拓展 | 错误乘积与正确乘积的差 = 另一个因数 × 两个小数因数的差。 | 把 5.6 看成 6.5，积大 11.16：另一个因数 = 11.16 ÷ (6.5 − 5.6) = 12.4；正确积 = 12.4 × 5.6 = 69.44。 |
| 牛吃草 拓展 | 同时考虑“原有草量”和“每天新长的草量”；把每头牛每天吃草量当作单位。 | 10 头牛吃 20 天、15 头牛吃 10 天：设每头牛每天吃 1 份，比较两次总消耗与生长量，可求出草每天长 5 份、原有 100 份；25 头牛需要 (100 ÷ (25 − 5)) = 5 天。这是拓展题，建议先理解“边吃边长”。 |
| 浓度 拓展 | 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；加水只改变溶液总质量，不改变溶质质量。 | 200 克 5% 盐水含盐 10 克；再加 50 克水，总质量 250 克，浓度 = 10 ÷ 250 = 4%。 |
| 题型 | 抓住的关系 | 小例子 / 检查点 |
|---|---|---|
| 线段 / 图形计数 拓展 | 按顺序分类，不重不漏；n 个共线点，两两确定一条线段。 | 5 个共线点的线段数 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 条。不是只数相邻的 4 条。 |
| 方格最短路线 拓展 | 最短路只走必要方向；计数时把不同顺序分类或用表格枚举。 | 从左下到右上必须向右 2 格、向上 3 格：5 步中选 2 步向右，共 10 种走法；若只求最短距离，则为 5 格。 |
| 表面积与体积 常见 | 表面积是外侧各面的面积和；体积是所占空间大小，单位不同。 | 棱长 3 厘米的正方体：表面积 6 × 3 × 3 = 54 平方厘米；体积 3 × 3 × 3 = 27 立方厘米。 |
| 打电话 / 配对计数 拓展 | “每两人通话一次”是数不同的两人组合，不把 A→B 和 B→A 重复算两次。 | 6 人之间每一对只通话一次：6 × 5 ÷ 2 = 15 次。若题意是逐轮传消息，模型不同，不能套这个式子。 |
| 找次品 拓展 | 每次称量尽量把候选物平均分组，利用天平结果排除大部分可能。 | 9 枚硬币中有 1 枚较重的假币：分成 3、3、3 称一次，再在较重的一组中分成 1、1、1 称第二次，可在 2 次内找出。 |
分类参考：教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》按内容与能力组织要求；具体题型名称参考《小学数学解题指导》目录与《图解小学数学压轴题·五年级》。拓展类题型按数学关系重新归组，避免把同一模型仅因故事不同重复分类。
一根绳子，第一次用去全长的 1/3，第二次用去全长的 1/4，还剩 10 米。这根绳子原来长多少米？
提示：把全长画成一条线段，先平均分成 12 份，1/3 是 4 份，1/4 是 3 份，剩下 5 份就是 10 米。先画图，再列式，做完用倒推检验。